Парабола
Розглянемо довільну пряму і точку, що не лежить на ній.
Через точку можна провести безліч кіл, що дотикаються до даної прямої.
Оскільки зображені на малюнку радіуси кола рівні, центр будь-якого такого кола рівновіддалений від прямої і точки. Зрозуміло, що вірне і зворотне твердження: будь-яка точка, рівновіддалена від даної прямої і даної точки, є центром кола, що проходить через дану точку і дотикається до даної прямої.
Здогадайтеся, по якій траєкторії рухається центр кола!
Звичайно, це парабола! Нескладним обчисленням можна довести, що визначення параболи, яке вивчається в курсі алгебри як графіка квадратичної функції, рівносильно геометричному визначенню: парабола - це безліч точок, рівновіддалених від даної прямої (директриси параболи) і таких, що не належать директрисі даної точки (фокуса параболи).
Геометричне визначення параболи можна сформулювати трохи інакше. Розглянемо пряму дотичну до круга.
.
Існує безліч кіл, дотичних до прямої та круга.
Побудуємо пряму, паралельну даній і розташовану з іншого боку, ніж круг, причому так, щоб відстань між прямими дорівнювало радіусу кола.
Центр червоного кола рівновіддалений від центру круга і попередньо проведеної прямої.
Мультфільм показує, як це виглядає в русі.
Траєкторія центру рухомого кола - парабола. Отже, парабола - це центри кіл, що дотикаються даного круга і даної прямої, дотичної до цього круга.
Розглянемо довільну пряму і точку, що не лежить на ній.
Через точку можна провести безліч кіл, що дотикаються до даної прямої.
Оскільки зображені на малюнку радіуси кола рівні, центр будь-якого такого кола рівновіддалений від прямої і точки. Зрозуміло, що вірне і зворотне твердження: будь-яка точка, рівновіддалена від даної прямої і даної точки, є центром кола, що проходить через дану точку і дотикається до даної прямої.
Здогадайтеся, по якій траєкторії рухається центр кола!
Звичайно, це парабола! Нескладним обчисленням можна довести, що визначення параболи, яке вивчається в курсі алгебри як графіка квадратичної функції, рівносильно геометричному визначенню: парабола - це безліч точок, рівновіддалених від даної прямої (директриси параболи) і таких, що не належать директрисі даної точки (фокуса параболи).
Геометричне визначення параболи можна сформулювати трохи інакше. Розглянемо пряму дотичну до круга.
Існує безліч кіл, дотичних до прямої та круга.
Побудуємо пряму, паралельну даній і розташовану з іншого боку, ніж круг, причому так, щоб відстань між прямими дорівнювало радіусу кола.
Центр червоного кола рівновіддалений від центру круга і попередньо проведеної прямої.
Мультфільм показує, як це виглядає в русі.
Траєкторія центру рухомого кола - парабола. Отже, парабола - це центри кіл, що дотикаються даного круга і даної прямої, дотичної до цього круга.
 |
Теорема Наполеона
На сторонах трикутника побудуємо рівносторонні трикутники.
Ось як це виглядає в русі:
Позначимо центри рівносторонніх трикутників на першому малюнку.
Те ж саме в русі:
Центри рівносторонніх трикутників рівновіддалені один від одного.
Теорема Наполеона стверджує, що це вірно для будь-якого трикутника: зелений трикутник завжди рівносторонній!
На сторонах трикутника побудуємо рівносторонні трикутники.
Ось як це виглядає в русі:
Позначимо центри рівносторонніх трикутників на першому малюнку.
Те ж саме в русі:
Центри рівносторонніх трикутників рівновіддалені один від одного.
Теорема Наполеона стверджує, що це вірно для будь-якого трикутника: зелений трикутник завжди рівносторонній!
 |
Трикутник Рьоло
На кожній стороні рівностороннього трикутника побудуємо дугу кола з центром в третій вершині трикутника. Отримаємо трикутник Рьоло. Його ширина в усіх напрямках однакова. (Ширина фігури в даному напрямку - це відстань між її опорними паралельними цього напрямку прямими, тобто паралельними прямими, між якими укладена фігура і відстань між якими не можна зменшити за збереженням цієї властивості.) На малюнку показано, як трикутник Рьоло може обертатися всередині квадрата. При цьому центр трикутника рухається не по колу!
На кожній стороні рівностороннього трикутника побудуємо дугу кола з центром в третій вершині трикутника. Отримаємо трикутник Рьоло. Його ширина в усіх напрямках однакова. (Ширина фігури в даному напрямку - це відстань між її опорними паралельними цього напрямку прямими, тобто паралельними прямими, між якими укладена фігура і відстань між якими не можна зменшити за збереженням цієї властивості.) На малюнку показано, як трикутник Рьоло може обертатися всередині квадрата. При цьому центр трикутника рухається не по колу!
 |
Ланцюжок кіл
Анімація показує дивовижну систему з двох кіл. Починається побудова з кола, що дотикається двох сторін зображеного на малюнку трикутника і не виходить за його межу. Радіус її не надто великий і не дуже маленький - такий, щоб жодне з шести кіл не виходило за межі трикутника. Правило побудови очевидно: кожне наступне коло дотикається попереднього і двох сторін трикутника, причому усі три існуючі пари сторін перебираємо одну за одною по порядку, так що в результаті кожна пара використана двічі.
Можна довести, що такий ланцюжок кіл неодмінно зациклюється на шостому кроці, тобто що сьоме коло збігається з першим і, значить, ми отримуємо ланцюжок з шести кіл, кожне з яких дотикається двох сторін трикутника і двох інших кіл. У деякий момент ланцюжок вироджується і замість шести кіл ми бачимо всього лише три.
Анімація показує дивовижну систему з двох кіл. Починається побудова з кола, що дотикається двох сторін зображеного на малюнку трикутника і не виходить за його межу. Радіус її не надто великий і не дуже маленький - такий, щоб жодне з шести кіл не виходило за межі трикутника. Правило побудови очевидно: кожне наступне коло дотикається попереднього і двох сторін трикутника, причому усі три існуючі пари сторін перебираємо одну за одною по порядку, так що в результаті кожна пара використана двічі.
Можна довести, що такий ланцюжок кіл неодмінно зациклюється на шостому кроці, тобто що сьоме коло збігається з першим і, значить, ми отримуємо ланцюжок з шести кіл, кожне з яких дотикається двох сторін трикутника і двох інших кіл. У деякий момент ланцюжок вироджується і замість шести кіл ми бачимо всього лише три.
 |
Комментариев нет:
Отправить комментарий